集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的、不同的对象组成的整体。
用列举法表示小于 5 的自然数组成的集合。
解：小于 5 的自然数有 0, 1, 2, 3, 4，所以该集合可以表示为 {0, 1, 2, 3, 4}。
集合的基本运算包括交集、并集、补集等。
已知集合 A = {1, 2, 3, 4}，集合 B = {3, 4, 5, 6}，求 A ∩ B 和 A ∪ B。
解：A ∩ B = {3, 4}，A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}。
已知集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {1, 2, 3, 4}，判断 A 和 B 的包含关系。
解：因为集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素，且 A ≠ B，所以 A ⊂ B。
实数包括有理数和无理数，是数学中的基本概念。实数可以在数轴上表示，数轴上的每一个点都对应一个实数，反之亦然。
判断 √4, √5, 0.333..., π, 0, -3 是否为有理数
解：√4 = 2，是有理数；√5 是无理数；0.333... = 1/3，是有理数；π 是无理数；0 是有理数；-3 是有理数。
代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式。代数式可以分为整式和分式。
化简 (x² - 4)/(x + 2)
解：(x² - 4)/(x + 2) = (x + 2)(x - 2)/(x + 2) = x - 2
方程是含有未知数的等式，不等式是表示两个数或表达式大小关系的式子。
解：2x + 5 = 13
2x = 13 - 5 = 8
x = 4
解：x² - 5x + 6 = 0
(x - 2)(x - 3) = 0
x = 2 或 x = 3
研究平面图形的性质和关系，包括点、线、面、三角形、四边形、圆等。
已知圆的半径为 5cm，求圆的面积。
解：S = πr² = π × 5² = 25π ≈ 78.5 cm²
研究空间图形的性质和关系，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
已知圆柱体的底面半径为 3cm，高为 10cm，求体积。
解：V = πr²h = π × 3² × 10 = 90π ≈ 282.7 cm³
形如 y = kx + b (k ≠ 0) 的函数，其图像是一条直线。
已知一次函数过点 (1, 3) 和 (2, 5)，求函数解析式。
解：k = (5 - 3)/(2 - 1) = 2
3 = 2 × 1 + b → b = 1
所以函数解析式为 y = 2x + 1
形如 y = ax² + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其图像是一条抛物线。
求函数 y = x² - 4x + 3 的顶点坐标。
解：a = 1, b = -4, c = 3
顶点横坐标：-b/(2a) = 4/2 = 2
顶点纵坐标：(4ac - b²)/(4a) = (12 - 16)/4 = -1
所以顶点坐标为 (2, -1)
研究三角形中边与角的关系，包括正弦、余弦、正切等函数。
在直角三角形中，对边为 3，邻边为 4，求 sinθ 和 cosθ。
解：斜边 = √(3² + 4²) = 5
sinθ = 3/5 = 0.6
cosθ = 4/5 = 0.8
形如 y = a^x (a > 0, a ≠ 1) 的函数。
比较 2^3 和 3^2 的大小。
解：2^3 = 8，3^2 = 9，所以 2^3 < 3^2
形如 y = log_a x (a > 0, a ≠ 1, x > 0) 的函数，是指数函数的反函数。
计算 log_2 8 的值。
解：log_2 8 = log_2 2^3 = 3
研究随机事件发生的可能性大小。
掷一枚骰子，求点数为偶数的概率。
解：基本事件总数为 6，点数为偶数的事件包含 3 个基本事件（2, 4, 6），所以 P = 3/6 = 1/2
研究数据的收集、整理、分析和解释。
计算数据 2, 4, 6, 8, 10 的平均数。
解：x̄ = (2 + 4 + 6 + 8 + 10)/5 = 30/5 = 6
研究空间中的几何体，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等。
已知圆锥体的底面半径为 3cm，高为 6cm，求体积。
解：V = (1/3)πr²h = (1/3)π × 3² × 6 = 18π ≈ 56.52 cm³
研究空间中直线与平面的位置关系。
已知直线 l 平行于平面 α 内的一条直线 m，判断直线 l 与平面 α 的位置关系。
解：直线 l 可能平行于平面 α，也可能在平面 α 内。